Нецентрований розподіл хі-квадрат: Що це таке, його властивості та застосування
У світі ймовірностей і статистики, нецентрований розподіл хі-квадрат, часто позначається як
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
, відіграє важливу роль в аналізі потужності статистичних тестів та інших статистичних моделях. У цій статті ми детальніше розглянемо природу, властивості та застосування нецентрованого розподілу хі-квадрат.
Визначення нецентрованого розподілу хі-квадрат
Нецентрований розподіл хі-квадрат виникає як узагальнення розподілу хі-квадрат, який є широко відомим розподілом, пов’язаним із суммою незалежних випадкових величин з однаковим розподілом. Він часто використовується в статистичних моделях, де параметр є випадковим і його розподіл при нульовій гіпотезі є (можливо, асимптотично) хі-квадрат розподілом.
Характеристики нецентрованого розподілу хі-квадрат
- Нецентральний параметр: Нецентрований розподіл хі-квадрат характеризується додатковим параметром, що називається нецентральним параметром, який позначається як
λ {\displaystyle \lambda }. Цей параметр вимірює відстань між середнім значенням розподілу та початковою точкою.
- Функція щільності ймовірності: Функція щільності ймовірності (ФЩП) нецентрованого розподілу хі-квадрат задається наступною формулою:
f(x; k, λ) = \frac{1}{2^k \Gamma(k/2)} \exp\left(-\frac{x + \lambda}{2}\right) \sum_{j=0}^\infty \frac{(\lambda/2)^j}{(j!)} I_{j-1/2}(\sqrt{x\lambda}) {\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {1}{2^{k}\Gamma (k/2)}}\exp \left(-{\frac {x+\lambda }{2}}\right)\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{(j!)}I_{j-1/2}(\sqrt {x\lambda })}}, де
k {\displaystyle k}кількість ступенів свободи,
λ{\displaystyle \lambda }
нецентральний параметр, а
I_{j-1/2}(\cdot){\displaystyle I_{j-1/2}(\cdot )}
модифікована функція Бесселя першого роду порядку
j-1/2{\displaystyle j-1/2}
.
- Кумулятивна функція розподілу: Кумулятивна функція розподілу (КФР) для нецентрованого розподілу хі-квадрат визначається як:
F(x; k, λ) = \frac{1}{\Gamma(k/2)} \left(\frac{x}{2}\right)^{k/4} K_{k/2-1}(\sqrt{x\lambda}) + \exp(-\lambda/2) {\displaystyle F(x;k,\lambda )={\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{k/4}K_{k/2-1}(\sqrt {x\lambda })+\exp (-\lambda /2)}, де
K_{k/2-1}(\cdot) {\displaystyle K_{k/2-1}(\cdot )}модифікована функція Бесселя другого роду порядку
k/2-1{\displaystyle k/2-1}
.
Застосування нецентрованого розподілу хі-квадрат
Нецентрований розподіл хі-квадрат має різноманітні застосування в багатьох областях статистики та ймовірності, включаючи:
- Аналіз потужності: Нецентрований розподіл хі-квадрат використовується для аналізу потужності статистичних тестів. Потужність тесту визначає ймовірність правильного відхилення нульової гіпотези, коли вона хибна. Нецентральний параметр відіграє ключову роль у визначенні потужності тесту.
- Оцінка параметрів: Нецентрований розподіл хі-квадрат використовується для оцінки параметрів статистичних моделей. Наприклад, його можна використовувати для оцінки середнього значення або дисперсії розподілу даних.
- Перевірка гіпотез: Нецентрований розподіл хі-квадрат також використовується для перевірки статистичних гіпотез. Це включає перевірку гіпотези про те, що середнє значення або дисперсія розподілу даних дорівнює певному значенню.
- Моделювання та симуляція: Нецентрований розподіл хі-квадрат використовується для моделювання та симуляції статистичних процесів. Це може бути корисним для розуміння поведінки цих процесів та для проведення експериментів.
Висновок
Нецентрований розподіл хі-квадрат є потужним інструментом у статистиці та ймовірності. Його застосування варіюються від аналізу потужності до оцінки параметрів і перевірки гіпотез. Маючи розуміння цього розподілу, фахівці з даних та статистики можуть отримати цінні висновки з даних і приймати обґрунтовані рішення, базуючись на результатах статистичного аналізу.
5 часто задаваних запитань про нецентрований розподіл хі-квадрат:
- Що таке нецентрований розподіл хі-квадрат? Нецентрований розподіл хі-квадрат є узагальненням розподілу хі-квадрат, який включає додатковий параметр, нецентральний параметр.
- Якими є характеристики нецентрованого розподілу хі-квадрат? Функція щільності ймовірності нецентрованого розподілу хі-квадрат визначається за допомогою функції Бесселя, а його кумулятивна функція розподілу визначається за допомогою модифікованої функції Бесселя другого роду.
- Де використовується нецентрований розподіл хі-квадрат? Нецентрований розподіл хі-квадрат використовується в аналізі потужності статистичних тестів, оцінці параметрів, перевірці гіпотез, моделюванні та симуляції статистичних процесів.
- Як відрізняється нецентрований розподіл хі-квадрат від центрованого розподілу хі-квадрат? Нецентрований розподіл хі-квадрат має додатковий параметр, нецентральний параметр, який визначає відстань між середнім значенням розподілу та початковою точкою. Центрований розподіл хі-квадрат не має цього додаткового параметра.
- Яке значення має нецентрований розподіл хі-квадрат в статистиці? Нецентрований розподіл хі-квадрат є важливим інструментом в статистиці та ймовірності, який використовується для аналізу потужності статистичних тестів, оцінки параметрів, перевірки гіпотез, моделювання та симуляції статистичних процесів.
