Стандартний та канонічний базис у лінійній алгебрі
Вступ
У лінійній алгебрі базис являє собою лінійно незалежну множину векторів у векторному просторі, яка дозволяє виразити будь-який інший вектор у цьому просторі як їхню лінійну комбінацію. Існує багато різних базисів для будь-якого даного векторного простору, але деякі з них мають особливі властивості, які роблять їх особливо корисними. Два таких базиси – стандартний базис і канонічний базис.
Стандартний базис
Стандартний базис для дійсного векторного простору розмірності n являє собою множину векторів
(e_1 = (1, 0, 0, …, 0))
(e_2 = (0, 1, 0, …, 0))
(e_3 = (0, 0, 1, …, 0))
(…)
(e_n = (0, 0, 0, …, 1))
де (i)-й вектор ( e_i ) має одиницю на ( i )-му місці і нулі всюди.
Стандартний базис є зручним способом представити вектори в векторному просторі, оскільки він дозволяє легко виразити будь-який вектор як лінійну комбінацію векторів базису. Наприклад, вектор (v = (3, 4, -2)) можна записати як
(v = 3e_1 + 4e_2 – 2e_3)
Канонічний базис
Канонічний базис для дійсного векторного простору розмірності n являє собою множину векторів
(e'_1 = (1, 0, 0, …, 0))
(e'_2 = (0, 1, 0, …, 0))
(e'_3 = (0, 0, 0, …, 1))
де кожен вектор (e'_i) є власним вектором матриці трансформації, яка представляє лінійне перетворення, що діє на векторний простір.
Канонічний базис є корисним, коли ми хочемо вивчати лінійні перетворення, оскільки він дозволяє нам представляти матриці перетворення в особливо простій формі. Зокрема, матриця перетворення в канонічному базисі є діагональною матрицею, де діагональні елементи є власними значеннями перетворення.
Порівняння стандартного та канонічного базисів
Стандартний та канонічний базиси є двома найбільш поширеними базисами, використовуваними в лінійній алгебрі. Обидва базиси мають свої переваги в різних ситуаціях.
Стандартний базис є зручним для представлення векторів, оскільки він дозволяє легко виразити будь-який вектор як лінійну комбінацію векторів базису. Канонічний базис є корисним при вивченні лінійних перетворень, оскільки він дозволяє представляти матриці перетворення в особливо простій формі.
Висновок
Стандартний та канонічний базиси є двома важливими базисами, які використовуються в лінійній алгебрі. Стандартний базис зручний для представлення векторів, а канонічний базис корисний для вивчення лінійних перетворень.
Часто задавані питання
- Що таке базис у лінійній алгебрі?
- Що таке стандартний базис у лінійній алгебрі?
- Що таке канонічний базис у лінійній алгебрі?
- Які переваги стандартного базису?
- Які переваги канонічного базису?