Стандартний базис

Стандартний та канонічний базис у лінійній алгебрі

Вступ

У лінійній алгебрі базис являє собою лінійно незалежну множину векторів у векторному просторі, яка дозволяє виразити будь-який інший вектор у цьому просторі як їхню лінійну комбінацію. Існує багато різних базисів для будь-якого даного векторного простору, але деякі з них мають особливі властивості, які роблять їх особливо корисними. Два таких базиси – стандартний базис і канонічний базис.

Стандартний базис

Стандартний базис для дійсного векторного простору розмірності n являє собою множину векторів

(e_1 = (1, 0, 0, …, 0))
(e_2 = (0, 1, 0, …, 0))
(e_3 = (0, 0, 1, …, 0))
(…)
(e_n = (0, 0, 0, …, 1))

де (i)-й вектор ( e_i ) має одиницю на ( i )-му місці і нулі всюди.

Стандартний базис є зручним способом представити вектори в векторному просторі, оскільки він дозволяє легко виразити будь-який вектор як лінійну комбінацію векторів базису. Наприклад, вектор (v = (3, 4, -2)) можна записати як

(v = 3e_1 + 4e_2 – 2e_3)

Канонічний базис

Канонічний базис для дійсного векторного простору розмірності n являє собою множину векторів

(e'_1 = (1, 0, 0, …, 0))
(e'_2 = (0, 1, 0, …, 0))
(e'_3 = (0, 0, 0, …, 1))

де кожен вектор (e'_i) є власним вектором матриці трансформації, яка представляє лінійне перетворення, що діє на векторний простір.

Канонічний базис є корисним, коли ми хочемо вивчати лінійні перетворення, оскільки він дозволяє нам представляти матриці перетворення в особливо простій формі. Зокрема, матриця перетворення в канонічному базисі є діагональною матрицею, де діагональні елементи є власними значеннями перетворення.

Порівняння стандартного та канонічного базисів

Стандартний та канонічний базиси є двома найбільш поширеними базисами, використовуваними в лінійній алгебрі. Обидва базиси мають свої переваги в різних ситуаціях.

Стандартний базис є зручним для представлення векторів, оскільки він дозволяє легко виразити будь-який вектор як лінійну комбінацію векторів базису. Канонічний базис є корисним при вивченні лінійних перетворень, оскільки він дозволяє представляти матриці перетворення в особливо простій формі.

Висновок

Стандартний та канонічний базиси є двома важливими базисами, які використовуються в лінійній алгебрі. Стандартний базис зручний для представлення векторів, а канонічний базис корисний для вивчення лінійних перетворень.

Часто задавані питання

  1. Що таке базис у лінійній алгебрі?
  2. Що таке стандартний базис у лінійній алгебрі?
  3. Що таке канонічний базис у лінійній алгебрі?
  4. Які переваги стандартного базису?
  5. Які переваги канонічного базису?

Тоже интересно