Визначення
Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор на гільбертовому просторі з скінченною нормою Гільберта — Шмідта. Це означає, що існує такий ортонормований базис {e_i : i ∈ I} у гільбертовому просторі H, що
$$||A||{HS} = \left(\sum{i \in I} ||A e_i||^2\right)^{1/2} < \infty$$
де ||.|| — норма Гільберта на H.
Властивості
- Теорема про ядерне розкладання: Будь-який оператор Гільберта — Шмідта можна подати у вигляді
$$A = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i \langle e_i, . \rangle e_i$$
де λ_i — зліченна послідовність невід'ємних дійсних чисел, що прямує до нуля, а {e_i} — ортонормований базис у H.
Компактність: Оператори Гільберта — Шмідта є компактними.
Обмеженість: Оператори Гільберта — Шмідта є обмеженими операторами.
Неперервність: Оператори Гільберта — Шмідта є неперервними у сильній і слабкій топологіях.
Додатки
Оператори Гільберта — Шмідта використовуються в квантовій теорії для позначення ермітових операторів, що мають дискретний спектр.
У функціональному аналізі оператори Гільберта — Шмідта використовуються для вивчення інтегральних операторів та інших класів операторів.
У теорії ймовірностей оператори Гільберта — Шмідта використовуються для вивчення коваріаційних операторів багатовимірних випадкових величин.
Узагальнення
Поняття оператора Гільберта — Шмідта можна узагальнити на випадок невизначених операторів. У цьому випадку норма Гільберта — Шмідта визначається як
$$||A||{HS} = \left(\sum{i \in I} |A e_i||^2\right)^{1/2}$$
де |.| — норма в гільбертовому просторі, породженому скалярним добутком ⟨⋅, ⋅⟩.
Оператори Гільберта — Шмідта є важливим класом обмежених операторів на гільбертових просторах. Вони знаходять широке застосування в різних галузях математики та мають численні властивості, що роблять їх корисними у вивченні інших типів операторів та розв'язанні різних проблем.
Часто задавані питання
- Чи всі обмежені оператори на гільбертовому просторі є операторами Гільберта — Шмідта?
- Який зв'язок між нормою Гільберта — Шмідта та іншими типами норм на просторі операторів?
- Як знайти ядро оператора Гільберта — Шмідта?
- Чи замкнена множина операторів Гільберта — Шмідта в просторі обмежених операторів?
- Які застосування операторів Гільберта — Шмідта в різних галузях?
