Граціозна розмітка

Граціозна розмітка – Комбінаторна теорія

1:

Під1.1: Поняття граціозної розмітки

– це вершинна розмітка графу з m ребрами деякою підмножиною цілих чисел між 0 і m включно, що задовольняє наступним умовам:

• Різні вершини помічені різними числами.
• Якщо кожному ребру присвоїти маркування рівне абсолютної різниці міток вершин, які воно з'єднує, то всі отримані різниці будуть різними.

2: Теорема граціозності

Під2.1: Формулювання теореми

У 1966 році Роза (Rosa) довів, що будь-який шлях P_n з n вершинами допускає граціозну розмітку. Доведення також показує, що якщо шлях має непарне число вершин, розмітка буде унікальною, а якщо парне, то існує дві різні допустимі розмітки.

3: Умови граціозності

Під3.1: Необхідні умови

Існують необхідні умови, яким має задовольняти граф для допущення граціозної розмітки:

• n – число вершин, має бути непарним.
• m – число ребер, має бути рівним n(n-1)/2 – 1.

Під3.2: Достатні умови

Достатніми для граціозності графу є умови:

• Граф є деревом.
• Граф є циклом непарної довжини.
• Граф є з'єднанням циклів непарної довжини.

4: Граціозні графи

Під4.1: Характеристики

Граф, що допускає граціозну розмітку, називається граціозним графом. Граціозні графи мають наступні характеристики:

• Число вершин та ребер задовольняє необхідним умовам граціозності.
• Мають хоча б одну граціозну розмітку.
• Можуть мати кілька різних граціозних розміток.

5: Застосування

Граціозна розмітка має застосування у різних галузях, зокрема:

• Оптимізація алгоритмів.
• Теорія кодування.
• Побудова мереж.

Граціозна розмітка є цікавою та корисною концепцією у теорії графів. Пошук граціозних розміток та дослідження властивостей граціозних графів є активними напрямками сучасних досліджень у галузі.

Запитання, що часто задаються

1. Які необхідні умови для граціозності графу?
2. Які достатні умови для граціозності графу?
3. Чи всі дерева є граціозними?
4. Чи існує граціозна розмітка для кожного графу?
5. Які застосування має граціозна розмітка?