В ЯКИЙ РОМБ МОЖНА ВПИСАТИ КОЛО

Вписаний круг у ромбі

Ромб є паралелограмом з рівними сторонами, проте, не всі ромби можуть мати вписане коло. Умова необхідна та достатня для існування вписаного кола — діагоналі ромба повинні бути перпендикулярними.

Доведення

Нехай ромб має вписане коло з центром . Побудуємо перпендикуляри , , , від центру до сторін , , , відповідно. Тоді трикутники , , , є прямокутними, а відрізки , , , рівні як радіуси вписаного кола. Отже, точки

, , , лежать на прямих перпендикулярних до діагоналей і у їх середині. Тому діагоналі і перпендикулярні.

Зворотно, нехай діагоналі і ромба перпендикулярні. Побудуємо відрізок перпендикулярний діагоналі в її середині. Тоді є бісектрисою кута . Побудуємо коло з центром і радіусом . Точка лежить на прямій перпендикулярній до діагоналі , а також на бісектрисах і . Це означає, що коло дотичне до всіх сторін ромба. Отже, ромб має вписане коло.

Ознаки вписаності

Існує кілька ознак, за якими можна визначити, чи можна вписати коло в ромб.

* Перпендикулярність діагоналей. Якщо діагоналі ромба перпендикулярні, то в нього можна вписати коло.
* Рівність діагоналей. Якщо діагоналі ромба рівні, то в нього можна вписати коло.
* Рівновіддаленість діагоналей від сторін. Якщо діагоналі ромба рівновіддалені від сторін, то в нього можна вписати коло.
* Внутрішні кути рівні 60 градусів. Якщо внутрішні кути ромба рівні 60 градусів, то в нього можна вписати коло.

Радіус вписаного кола

Радіус вписаного кола в ромб зі стороною і діагоналлю розраховується за формулою:

“`
r = (a^2 – d^2) / 4d
“`

Площа ромба з вписаним колом

Площа ромба з вписаним колом радіусом розраховується за формулою:

“`
S = 4 * a * r
“`

Запитання 1:

Чи можна в будь-який ромб вписати коло?

Відповідь:

Ні, не в будь-який. Коло можна вписати тільки в ромб, у якого всі чотири кути прямі. Такий ромб називається квадратом.

Запитання 2:

Як намалювати ромб, в який можна вписати коло?

Відповідь:

1. Намалюйте два перпендикулярних відрізки будь-якої довжини.
2. Від кінця кожного відрізка відкладіть відрізок тієї ж довжини під кутом 45 градусів.
3. З'єднайте кінці відкладених відрізків, щоб утворити ромб.
4. У центрі ромба намалюйте коло, яке буде вписане в нього.

Запитання 3:

Які властивості має ромб, в який можна вписати коло?

Відповідь:

• Діагоналі ромба перпендикулярні і рівні.
• Всі кути ромба прямі (90 градусів).
• В ромб можна вписати коло, яке дотикатиметься його сторін у чотирьох точках.

Запитання 4:

Яка довжина діагоналі ромба, в який вписано коло радіусом R?

Відповідь:

Довжина діагоналей ромба, в який вписано коло радіусом R, дорівнює 2R√2.

Запитання 5:

Які застосування має знання про ромби, в які можна вписати коло?

Відповідь:

Знання про ромби, в які можна вписати коло, використовується в різних областях:

• Архітектура: проектування куполів і арок.
• Дизайн: створення візерунків і логотипів.
• Геометрія: як приклад фігури з певними властивостями.
• Наука: моделювання молекулярних структур і кристалічних решіток.