Принцип максимуму Понтрягіна

Принцип максимуму Понтрягіна: Необхідна умова оптимальності в задачах теорії оптимального управління

Огляд

Теорія оптимального управління – це галузь прикладної математики, яка займається оптимізацією динамічних систем. Принцип максимуму Понтрягіна є одним з найважливіших принципів в теорії оптимального управління, і він забезпечує необхідну умову оптимальності для задач оптимального управління.

Формулювання принципу максимуму Понтрягіна

Нехай у нас є задача оптимального управління, визначена наступним чином:

  • Стан системи: $x(t)$
  • Управління: $u(t)$
  • Цільова функція: $J(x, u)$
  • Обмеження на стан: $x(t) \in X(t)$
  • Обмеження на управління: $u(t) \in U(t)$

Тоді принцип максимуму Понтрягіна стверджує, що для будь-якого допустимого управління $u^*(t)$ і відповідного йому оптимального стану $x^*(t)$ існує невід’ємний скалярний множник $\lambda(t) \ge 0$ такий, що наступні умови виконуються:

  • Гамільтоніан: $H(x, u, \lambda) = \lambda \cdot f(x, u) + g(x, u)$
  • Рівняння в точці massimo: $\lambda(t) \cdot \dot{x}(t) = H(x(t), u(t), \lambda(t)) – \min_{v \in U(t)} H(x(t), v, \lambda(t)) = 0$
  • Канонічні рівняння: $\dot{x}(t) = \frac{\partial H}{\partial \lambda}(x(t), u(t), \lambda(t)), \quad \dot{\lambda}(t) = -\frac{\partial H}{\partial x}(x(t), u(t), \lambda(t))$
  • Умова трансверсальності: $\lambda(t_f) = \frac{\partial J}{\partial x}(x(t_f), u(t_f))$, де $t_f$ – кінцевий час

Доказ принципу максимуму Понтрягіна

Доказ принципу максимуму Понтрягіна заснований на варіаційному підході. Ідея полягає в тому, щоб розглянути малу варіацію допустимого управління $u^*(t)$ і відповідного йому оптимального стану $x^*(t)$. Тоді можна показати, що зміна цільової функції $\Delta J$ можна представити у вигляді:

$\Delta J = \int_{t_0}^{t_f} \left[ \frac{\partial H}{\partial x} \cdot \Delta x + \frac{\partial H}{\partial u} \cdot \Delta u \right] dt + \left[ \lambda(t_f) \cdot \Delta x(t_f) \right]$

Оскільки $u^*(t)$ і $x^*(t)$ є оптимальними, то $\Delta J = 0$ для будь-якої малої варіації $\Delta u$. Це означає, що коефіцієнт при $\Delta u$ в рівнянні (1) повинен бути рівним нулю, що дає рівняння в точці massimo.

Застосування принципу максимуму Понтрягіна

Принцип максимуму Понтрягіна є потужним інструментом для вирішення задач оптимального управління. Його можна використовувати для вирішення широкого кола задач, таких як:

  • Оптимальне управління траєкторією літака
  • Оптимальне управління виробничим процесом
  • Оптимальне управління фінансовим портфелем
  • Оптимальне управління роботом
  • Оптимальне управління мережею зв’язку

Висновок

Принцип максимуму Понтрягіна є одним з найважливіших принципів в теорії оптимального управління. Він забезпечує необхідну умову оптимальності для задач оптимального управління і може бути використаний для вирішення широкого кола задач.

Часто задавані питання

  1. Що таке принцип максимуму Понтрягіна?
  2. Як формулюється принцип максимуму Понтрягіна?
  3. Як доводиться принцип максимуму Понтрягіна?
  4. Які застосування принципу максимуму Понтрягіна?
  5. Які переваги та недоліки принципу максимуму Понтрягіна?

Тоже интересно