Ізотомічне спряження

Ізотомічне спряження, трикутник та площина

У планіметрії ізотомічним спряженням називають одне з перетворень площини, що породжується заданим на площині трикутником

    A
    B
    C
  

{\displaystyle ABC}.</b>

Поняття ізотомічного спряження

Термін "ізотомічне спряження" походить від грецького "isos" і означає "рівний", а також від "tomos", що означає "частина". Поряд з інверсією та гомотетією ізотомічне спряження відноситься до трьох класичних зворотних перетворень евклідової геометрії на площині.

Визначення

Нехай у площині задано трикутник (ABC). Для даного трикутника виконуємо такі побудови. На прямих сторін трикутника (AB), (BC) та (CA) відкладаємо, відповідно до напрямку їх променя, відсічки (CA^'), (AB^') та (BC^') рівні за величиною стороні трикутника, який протилежний цій прямій. Потім сполучаємо відрізки (AA^'), (BB^') та (CC^') та отримуємо трикутник (A^'^'B^'^'C^'^'). Трикутник (A^'^'B^'^'C^'^') називається ізотомічно спряженим трикутнику (ABC).
Відповідно перетворення площини, яке переводить кожну точку P площини в точку P' так, що трикутник (PAP'B) є ізотомічно спряженим трикутнику (ABC), називається ізотомічним спряженням щодо трикутника (ABC).

Властивості

• Точка P лежить на прямій (AA^'), якщо і тільки якщо точка P' лежить на прямій (CC^').
• Точка P лежить на прямій (BB^'), якщо і тільки якщо точка P' лежить на прямій (AA^').
• Точка P не лежить на жодній з прямих (AA^'), (BB^'), (CC^'), якщо і тільки якщо точка P' не лежить на жодній з прямих (AA^'), (BB^'), (CC^').
• Якщо точка P є внутрішньою точкою трикутника (ABC), то точка P' є внутрішньою точкою трикутника (A^'^'B^'^'C^'^').
• Якщо точка P знаходиться на стороні трикутника (ABC), то точка P' знаходиться на стороні трикутника (A^'^'B^'^'C^'^').
• Якщо P знаходиться у вершині (ABC), то P' знаходиться у вершині (A^'^'B^'^'C^'^').
• Якщо точка P знаходиться на прямій, що проходить через вершину трикутника (ABC), то точка P' знаходиться на прямій, що проходить через відповідну вершину трикутника (A^'^'B^'^'C^'^').
• Якщо P лежить на колі (A^'^'B^'^'C^'^'), то P' лежить на колі (ABC).
• Ізотомічне спряження переводить прямі у прямі.
• Ізотомічне спряження зберігає кути.
• Ізотомічне спряження є оберненим перетворенням.
• Ізотомічне спряження є еліткою.

Висновок

Ізотомічне спряження є одним з основних перетворень площини. Воно має багато цікавих властивостей і знаходить застосування в різних галузях математики, зокрема в геометрії та алгебрі.

Поширені запитання

1. Яке визначення ізотомічного спряження?
2. Які властивості має ізотомічне спряження?
3. Де застосовується ізотомічне спряження?
4. Які перетворення площини є оберненими до ізотомічного спряження?
5. Які перетворення площини є елітками?