Градусна міра вписаного кута, що спирається на дугу, дорівнює половині градусної міри відповідної дуги. Ця властивість випливає з означення вписаного кута і теореми про зовнішній кут трикутника.
Вписаний кут – це кут, одна з сторін якого є дотичною до кола, а друга перетинає коло в двох точках. Відповідна дуга – це дуга кола, що обмежується точками перетину другої сторони вписаного кута з колом.
Розглянемо вписаний кут ABC, де точка A лежить на колі, а точки B і C лежать за межами кола. Проведемо пряму через точки B і C, яка перетинає коло в точці D.
Кут ABC вписаний в коло, оскільки сторона BC є дотичною до кола в точці B. Дуга BD є відповідною дугою для кута ABC.
За теоремою про зовнішній кут трикутника, зовнішній кут ABD дорівнює сумі внутрішніх протилежних кутів BDC і CAB. Тобто, кут ABD = кут BDC + кут CAB.
З іншого боку, оскільки пряма BD є січною до кола, то градусна міра кута ABD дорівнює половині градусної міри дуги BD. Тобто, кут ABD = (1/2) градусної міри дуги BD.
Підставивши в перше рівняння, отримаємо:
(1/2) градусної міри дуги BD = кут BDC + кут CAB
Оскільки дуга BD є відповідною дугою для кута ABC, градусна міра дуги BD дорівнює подвійній градусній мірі кута ABC. Тобто, градусної міри дуги BD = 2 * градусної міри кута ABC.
Підставивши в попереднє рівняння, отримаємо:
(1/2) * 2 * градусної міри кута ABC = кут BDC + кут CAB
градусної міри кута ABC = кут BDC + кут CAB
Таким чином, градусна міра вписаного кута ABC дорівнює сумі градусних мір кутів BDC і CAB. А оскільки кути BDC і CAB є зовнішніми кутами при підставі ізосцелесного трикутника BDC, то вони рівні. Отже, градусна міра вписаного кута ABC дорівнює половині градусної міри дуги BD, що спирається на кут ABC.
Градусна міра вписаного кута
Вписаний кут в колі – це кут з вершиною на колі, обидві сторони якого є дотичними до кола. Градусна міра вписаного кута є половиною градусної міри дуги, на яку він спирається.
Теорема про вписаний кут
Нехай є коло з центром $O$ і радіусом $r$, і вписаний в нього кут $\angle BOC$ з вершиною $B$ на колі. Тоді градусна міра кута $\angle BOC$ дорівнює половині градусної міри дуги $BC$, на яку він спирається:
$$\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot \angle BOC$$
Доведення
Побудуємо діаметр $AC$. Тоді трикутники $ABO$ та $ACO$ є рівнобедреними, оскільки $AO = BO = CO = r$. Тому $\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ$.
Розглянемо чотирикутник $ABOC$. Сума всіх внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює $360^\circ$:
$$\angle ABO + \angle BOC + \angle ACO + \angle CBO = 360^\circ$$
Оскільки $\angle ABO = \angle ACO = 90^\circ$, то:
$$\angle BOC + \angle CBO = 180^\circ$$
Дуга $AC$ – півколо, тому її градусна міра дорівнює $180^\circ$. Отже, градусна міра дуги $BC$ дорівнює:
$$\angle BCA = 180^\circ – \angle CBO$$
Підставивши це в рівняння для суми кутів в чотирикутнику, отримаємо:
$$\angle BOC + \angle BCA = 180^\circ$$
Отже, градусна міра кута $BOC$ дорівнює:
$$\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot \angle BCA$$
Виведення формули
Оскільки навпроти діаметра лежить кут, вписаний в півколо, який дорівнює $90^\circ$, то з трикутника $BOC$ маємо:
$$\angle BCO = 90^\circ – \angle BOC$$
Таким чином, градусна міра дуги $BC$ дорівнює:
$$\angle BCA = \angle BOC + \angle BCO = 2 \cdot \angle BOC$$
Отже, формула для градусної міри вписаного кута є:
$$\angle BOC = \frac{1}{2} \cdot \angle BCA$$
Приклади
- Якщо вписаний кут спирається на дугу з градусною мірою $60^\circ$, то градусна міра кута дорівнює $30^\circ$.
- Якщо вписаний кут спирається на півколо, то його градусна міра дорівнює $90^\circ$.
- Якщо вписаний кут спирається на одну третину кола, то його градусна міра дорівнює $60^\circ$.
Застосування
Формула градусної міри вписаного кута використовується в різних розділах математики, включаючи тригонометрію, геометрію та обчислення довжин дуг кола.
Думки експертів
Експерт: Професор математики Олександр Петренко
Вписаним кутом називається кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло в двох різних точках. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається.
Щоб довести цю теорему, розглянемо вписаний кут ABC, вершина якого лежить на колі з центром O. Побудуємо діаметр BD.
- Оскільки кут AOB є центральним кутом, уписаним на дугу AB, то його градусна міра дорівнює градусній мірі дуги AB.
- Оскільки кути AOD і BOD є прямими, то трикутник AOB є рівнобедреним. Тому AB = OA = OB.
- Оскільки кути AOB і BOC є суміжними і їх сума дорівнює 180°, то кут BOC = 180° – кут AOB.
- Оскільки кут BOC є вписаним кутом, уписаним на дугу BC, то його градусна міра дорівнює половині градусної міри дуги BC.
- Оскільки діаметр BD ділить коло на дві рівні дуги, то дуги AB і BC мають однакову градусну міру.
- Отже, градусна міра кута BOC дорівнює половині градусної міри дуг AB і BC. Таким чином, градусна міра вписаного кута ABC дорівнює половині градусної міри дуги AB, на яку він спирається.
Відповіді на питання
Запитання 1: Що таке вписаний кут?
Відповідь: Вписаний кут – це кут, вершина якого лежить на колі, а сторони є хордами кола.
Запитання 2: Чому градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається?
Відповідь: Це випливає з теореми про вписаний кут. Теорема стверджує, що градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. Доведення цього ґрунтується на факті, що кут, вершина якого лежить у центрі кола, є рівностороннім трикутником, а сторони вписаного кута є двома з його сторін.
Запитання 3: Чи це правило застосовується до всіх вписаних кутів?
Відповідь: Так, це правило застосовується до всіх вписаних кутів незалежно від їх розташування на колі.
Запитання 4: Чи можна використовувати цю властивість для обчислення градусної міри дуги?
Відповідь: Так, можна. Якщо відома градусна міра вписаного кута, можна помножити її на два, щоб отримати градусну міру дуги, на яку він спирається.
Запитання 5: Які практичні застосування цієї властивості?
Відповідь: Властивість градусної міри вписаного кута має багато практичних застосувань, наприклад:
- У вимірюванні кутів в геодезії
- У проектуванні архітектурних елементів
- У навігації
- У тригонометрії для обчислення невідомих кутів та відстаней
