Теорема Чеви

Теорема Чеви: Потужнє Геометричне Відношення між Лініями в Трикутнику

Теорема Чеви є важливою теоремою класичної геометрії, яка встановлює зв'язок між лініями в трикутнику та конкурентними точками. Ця теорема була вперше опублікована італійським математиком Джованні Чевою в 1678 році і з тих пір стала цінним інструментом для геометрів та математиків. У цій статті ми дослідимо теорему Чеви, її застосування та доведення.

Заява теореми Чеви

Теорема Чеви: Нехай дано трикутник △ABC і прямі BC, CA, і AB, що є сторонами трикутника. Якщо точки D, E, і F лежать на прямих BC, CA, і AB відповідно, то лінії AD, BE і CF конкурентні тоді і тільки тоді якщо:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

Доведення теореми Чеви

Щоб довести теорему Чеви, ми скористаємося методом пропорцій.

1. Крок 1: Нехай точка перетину ліній AD, BE і CF є точка G.

2. Крок 2: Розглянемо трикутники △ABD та △AGC. Оскільки лінії AD і AG проходять через точку A, вони є пропорційними. Аналогічно, оскільки лінії BD і CG проходять через точку B, вони також є пропорційними. Тобто:

$$\frac{AB}{AG} = \frac{AD}{AG} \text{ та } \frac{BC}{CG} = \frac{BD}{CG}$$

3. Крок 3: Тепер розглянемо трикутники △CBE та △AGC. Аналогічним чином, оскільки лінії BE і AG проходять через точку A, вони є пропорційними. Аналогічно, оскільки лінії CE і CG проходять через точку C, вони також є пропорційними. Тобто:

$$\frac{AB}{AG} = \frac{BE}{AG} \text{ та } \frac{CA}{CG} = \frac{CE}{CG}$$

4. Крок 4: Об'єднавши ці пропорції, ми отримаємо:

$$\frac{AB}{AG} = \frac{AD}{AG} = \frac{BE}{AG} = \frac{BD}{CG} = \frac{CE}{CG} = \frac{CA}{CG}$$

5. Крок 5: Розв'язавши ці пропорції, ми отримаємо:

$$\frac{AD}{BD} = \frac{AG}{CG} \text{ та } \frac{BE}{CE} = \frac{AG}{CG}$$

6. Крок 6: Перемноживши ці рівності, ми отримаємо:

$$\frac{AD}{BD} \cdot \frac{BE}{CE} = \frac{AG^2}{CG^2}$$

7. Крок 7: Оскільки лінії AD, BE, і CF конкурентні, то точка G є центром вписаного кола трикутника △ABC. Тому, AG = AF/2 і CG = CF/2.

8. Крок 8: Підставивши ці значення в рівняння з кроку 6, ми отримаємо:

$$\frac{AD}{BD} \cdot \frac{BE}{CE} = \frac{(AF/2)^2}{(CF/2)^2}$$

9. Крок 9: Спростивши це рівняння, ми отримаємо:

$$\frac{AD}{BD} \cdot \frac{BE}{CE} = \frac{AF}{FB}$$

10. Крок 10: Таким чином, ми довели, що лінії AD, BE, і CF конкурентні тоді і тільки тоді якщо:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

Застосування теореми Чеви

Теорема Чеви має багато застосувань в геометрії. Її можна використовувати для:

1. Визначення конкурентних точок в трикутнику
2. Доведення інших геометричних теорем
3. Розв'язання геометричних задач

Приклад використання теореми Чеви

Розглянемо трикутник △ABC зі сторонами AB = 6 см, BC = 8 см, і CA = 10 см. Якщо точка D ділить сторону BC в пропорції 2:1, то знайдіть довжину відрізка AD.

Розв'язання:

1. Запишемо пропорцію для точки D:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1}$$

2. Переставимо рівняння:

$$\frac{BD}{DC} = 2$$

3. Підставимо отримане пропорційне відношення у формулу теореми Чеви:

$$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$

4. Оскільки точки E і F є кінці висот трикутника △ABC з вершини A, ми можемо записати:

$$\frac{CE}{EA} = \frac{AF}{FB} = 1$$

5. Підставимо ці рівності у формулу теореми Чеви:

$$2 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

6. Таким чином, лінії AD, BE, і CF конкурентні.

7. Знайдемо віднослення відрізка AD до відрізка CD за допомогою теореми подібності трикутників з вершиною A:

$$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}$$

8. Підставимо довжини сторін трикутника △ABC:

$$\frac{AD}{CD} = \frac{6}{8}$$

9. Переставимо рівняння:

$$\frac{AD}{CD} = \frac{3}{4}$$

10. Відповідно відношенню 3:4, знайдемо довжину відрізка AD:

$$AD = \frac{3}{4} \cdot CD$$

11. Оскільки CD = 8 см – BD, ми знаходимо BD:

$$8 см – BD = \frac{3}{4} \cdot CD$$

12. Виражаємо BD:

$$BD = 8 см – \frac{3}{4} \cdot CD$$

13. Підставляємо значення CD:

$$BD = 8 см – \frac{3}{4} \cdot (8 см – BD)$$

14. Розв'язуємо рівняння:

$$BD = 4 см$$

15. Тепер знаходимо довжину відрізка AD:

$$AD = \frac{3}{4} \cdot CD$$

16. Підставляємо значення CD:

$$AD = \frac{3}{4} \cdot (8 см – 4 см)$$

$$AD = 3 см$$

Висновок

Теорема Чеви є важливою теоремою класичної геометрії, яка встановлює зв'язок між лініями в трикутнику та конкурентними точками. Ця теорема має багато застосувань в геометрії і може бути використана для вирішення різноманітних геометричних задач.

Поширені питання:

1. Що таке теорема Чеви?
   Теорема Чеви встановлює зв'язок між лініями в трикутнику та конкурентними точками.

2. Хто опублікував теорему Чеви і коли?
   Теорему Чеви вперше опублікував Джованні Чева в 1678 році.

3. Яке практичне застосування теореми Чеви?
   Теорему Чеви можна використовувати для визначення конкурентних точок в трикутнику, доведення інших геометричних теорем та вирішення геометричних задач.

4. Яка формула теореми Чеви?
   Формула теореми Чеви: $$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$$